Тригонометрия в произвольном треугольнике см.ниже

Question

Тригонометрия в произвольном треугольнике см.ниже

Дмитрий Орлов Ученик (10), закрыт 2 недели назад

Что представляет из себя синус или например косинус в произвольном треугольнике?Ведь по определению синус это отношение синус отношение противолежащего катета к гипотенузе.Откуда катет и гипотенуза в произвольном треугольнике?

Answer 1

Ответ Дионатора, мягко говоря, неправильный.
Дмитрий, если ты построишь произвольный тр-к (не прямоугольный), измеришь его стороны и углы и попробуешь вычислить синус или косинус угла как для прямоугольного тр-ка (разделив размеры каких-то сторон друг на друга) - у тебя получаться значения, отличающиеся от синуса и косинуса угла, которые ты вычислишь с помощью таблицы синусов или косинусов для этого же угла.
Изначально определения тригонометрических функций, аргументом которых является угол, действительно выражались через соотношения сторон прямоугольного треугольника. Затем в тригонометрии вводится понятие угла поворота, величина которого, в отличие от острого угла в прямоугольном треугольнике, не ограничена рамками от 0 до 90 градусов.Угол поворота в градусах или радианах выражается любым действительным числом от − ∞ до + ∞.
В данном контексте можно дать определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла произвольной величины. Представим единичную окружность (круг) с центром в начале декартовой системы координат.

Начальная точка A с координатами (1,0) поворачивается вокруг центра единичной окружности на некоторый угол α и переходит в точку A1. Определение дается через координаты точки A1 (x ,y).
Синус (sin или син) угла поворота α - это ордината точки A1 (x,y).
sin α = y
Косинус (cos) угла поворота α - это абсцисса точки A1 (x, y).
cos α = х
Тангенс (tg) угла поворота α - это отношение ординаты точки A1(x,y) к ее абсциссе.
tg α = y/x
Котангенс (ctg) угла поворота α - это отношение абсциссы точки A1(x,y) к ее ординате.
ctg α = x/y
В этом смысле мы можем рассчитать тригонометрическую функцию любого угла, не привязываясь в катетам и гипотенузе прямоугольного тр-ка. В параллелограмме, в любом многограннике ведь нет прямоугольных тр-ков - но мы можем высчитать синус или тангенс любого угла, зная его величину.

Answer 2

В произвольном треугольнике синус, косинус и другие тригонометрические функции могут быть определены относительно углов и сторон треугольника.

В произвольном треугольнике каждый угол имеет свою противолежащую сторону и две катеты, которые лежат рядом с этим углом. Таким образом, у нас есть три пары угол-противолежащая сторона и соответствующие две катеты.

В соответствии с этим, для треугольника ABC, где угол A имеет противолежащую сторону a, угол B - сторону b, угол C - сторону c, синус угла A равен отношению противолежащей стороны к гипотенузе, т.е. sin(A) = a/c, косинус угла A равен отношению прилежащей катеты к гипотенузе, т.е. cos(A) = b/c и т.д.

Таким образом, синус и косинус могут быть определены в произвольном треугольнике и используются для описания отношений между углами и сторонами треугольника, не обязательно прямоугольного.