С дипломатическим паспортом можно пересекать границу без виз?

Нет, в некоторые страны облегченный въезд, например в шенген без виз. Во многие другие нужна виза.

Даже более того, так как диаломатический паспорт не предусматривает туристические поездки, он выдается для рабочих поездок, то на его владельцев не распространяются соглашения о краткосрочных безвизовых поездках для туристов. Например, в ту же Турцию, в Израиль нельзя ездить без визы по дипломатическому. Можно только по общегражданскому.

В самом общем случае дипломатический паспорт не дает никаких привилегий по сравнению с обычным. Что он может дать:
1. Отдельное окошко на пограничном контроле - там нет очереди. Есть не везде, и погранец там сидит не всегда.
2. Безвизовый въезд в некоторые страны. В основном это Шенген и Индия.
3. Дипломатический иммунитет для аккредитованных дипломатов. Только для них.
4. При посещении некоторых стран с дипломатическим паспортом, наоборот, требуется виза или аккредитация, даже если для их посещения с обычным паспортом таковая не требуется.