Если уволиться с последнего дня отпуска мне дадут отрабатывать?

это уж как решит ваше руководство, может и сразу уволить без отработки

Нет никакого закона об отработке. Можешь просто не приходить и тебя автоматом уволят за прогулы

можете хоть сегодня написать заявление на увольнение и указать дату увольнения 17 июня.
можете, как положено, не позднее, чем за 2 недели заявление подать, т. е. 3 июня его работодателю "вручить" с датой увольнения 17 июня.

"Трудовой кодекс Российской Федерации" от 30.12.2001 N 197-ФЗ (ред. от 01.04.2019)
Статья 80. Расторжение трудового договора по инициативе работника (по собственному желанию)
Работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме *не позднее чем за две недели, если иной срок не установлен настоящим Кодексом или иным федеральным законом. Течение указанного срока начинается на следующий день после получения работодателем заявления работника об увольнении.

Пиши когда хочешь, но до даты увольнения, должно быть не менее 2-ух недель.

Вообще пишут на отпуск с последующим увольнением. Но если на отпуск уже написано, значит напишите на увольнение с первого рабочего дня после отпуска с 18 июня. Отработка не понадобится т. к. до 18 июня 2 недели пройдёт.
Зарегистрируйте заявление у секретаря входящий номер поставит пусть.

Только нюанс - если отпуск дали авансом - часть отпускных придется вернуть.