Как получить разложение функции arcsin(z) и arccos(z) в ряд Маклорена

Question

Как получить разложение функции arcsin(z) и arccos(z) в ряд Маклорена

Сергей Легостаев Ученик (100), закрыт 1 неделю назад

хотя бы арксинус найти

Дополнен 1 неделю назад

Дополнение к вопросу: решение нужно не через взятие производных 1, 2, 3, и т.д. порядков и использования непосредственной формулы, а как-то иначе. Чтобы ответ получился в одной формуле со значком ∑ и т.д.
Т.е. должна как-то получиться формула суммы

Answer 1

1) записываем выражение арксинуса через интеграл от производной этого арксинуса.
2) вспоминаем разложение бинома (и в нём будет z=t², a=-1/2
3) можно не писать в лоб шаги для второго шага, а записать разложение по биному для функции 1/√(1-u)
и в него потом просто подставить x²
Таким образом получите разложение для арксинуса, после взятия интеграла.
5) Окончательный ответ пишем в компактном виде

Answer 2

Отличный вопрос! Разложение функции arcsin(z) в ряд Маклорена вокруг точки z = 0 можно вывести несколькими способами, но наиболее прямой — через производные функции и применение общей теории степенных рядов (рядов Тейлора). Для начала давай посмотрим разложение ряда для функции arcsin(z).

### Функция arcsin(z)

#### Шаг 1: Найдем производные функции arcsin(z)
Базовая производная:

(d)/(dz)arcsin(z) = 1/(√(1-z^2))

Для получения коэффициентов ряда Маклорена в ряд применяются производные порядка n в точке z=0. Каждая последующая производная будет содержать фактор вида (1-z^2)^(-n/2) и множественные выражения, происходящие из производных √(1-z^2).

#### Шаг 2: Производные в z=0
Для первых нескольких производных:
- (d)/(dz)arcsin(z) |_(z=0) = 1
- (d^2)/(dz^2)arcsin(z) |_(z=0) = 0
- (d^3)/(dz^3)arcsin(z) |_(z=0) = (1 · 3)/(2 · 2) = 3/(2^2)

и так далее, можно заметить, что производные имеют ненулевые значения только в точках нечетного порядка.

#### Шаг 3: Разложение в ряд

arcsin(z) = z + 1/2(z^3)/(3!) + (1 · 3)/(2^2 · 2!)(z^5)/(5!) + …

Более обобщенная форма:

arcsin(z) = ∑_(n=0)^(∞)((2n)!)/(2^(2n)(n!)^2)(z^(2n+1))/(2n+1)

Это выражение использует факториалы и степени, и проще всего находить его, работая непосредственно с производными и их значениями в нуле, как показано выше.

### Контрольный вопрос
Это разложение довольно строгое и математически насыщенное, понятны ли тебе промежуточные шаги, или ты хотел бы узнать что-то более конкретное о каком-то из этапов?

Answer 3

Марк Хазанов Знаток (340) 1 неделю назад

✨