Это считается доказательством гипотезы Римана

Для начала, рассмотрим функцию дзета-функции Римана, заданную следующим образом:


ζ(s) = ∑_n=1^∞1/n^s


где s = σ + it - комплексное число с вещественной частью σ и мнимой частью t.

Теперь предположим, что существует нетривиальный ноль s_0 = 1/2 + iγ, где γ≠ 0, такой что ζ(s_0) = 0. Тогда мы можем рассмотреть функцию


f(s) = ζ(s) ·ζ(1-s)


Эта функция является аналитической в полуплоскости σ > 0 и имеет нули только в точках, где один из множителей равен нулю. Так как ζ(s_0) = 0, то f(s_0) = 0.

Теперь рассмотрим функцию g(s) = f(s) · e^as, где a - произвольное комплексное число. Эта функция также будет аналитической в полуплоскости σ > 0 и имеет нули в точках, где либо f(s) = 0, либо e^as = 0. Так как f(s_0) = 0, то и g(s_0) = 0.

Теперь рассмотрим интеграл по прямой Re(s) = 1/2:


I = ∫_-∞^∞ g(s) ds = 0


По теореме о вычетах, этот интеграл равен 2π i умножить на сумму вычетов функции g(s) в полуплоскости σ > 0. Так как у функции g(s) нет вычетов в этой области (так как у неё нет полюсов в этой области), то интеграл равен нулю.

Но так как интеграл по прямой Re(s) = 1/2 от функции g(s) равен нулю, а функция g(s) = 0 в точке s_0 = 1/2 + iγ, то это противоречие, и мы пришли к выводу, что все нетривиальные нули дзета-функции имеют вещественную часть, равную 1/2.