Попробуем на пальцах, вот есть потенциальная яма, в классической механике есть решения когда уровни энергии выше или ниже потенциальной ямы, и поэтому частица или сидит в границах ямы, или ее энергия выше и она какое-то время вне ее. Ну как в квадратном уравнении, если дискриминант меньше нуля нет решения. Так как вот в комплексных числах есть решение квадратного уравнения, так и в случае уравнения Шредингера для пси функции есть решения, когда вероятность нахождения низкоэнергетической частицы вне ямы ненулевая, хотя и комплексная. Но именно аргумент квадрата комплексной пси функции имеет смысл вероятности, и это действительное число. Собственно объяснение туннельного эффекта и стало первым заслуженным результатом для теоретической модели уравнения Шредингера.
Для частицы с энергией ниже границы ямы пси-функция вне ямы хоть и мнимая, но не нулевая, а значит есть вероятность, что она преодолеет потенциальный барьер.
Собственно объяснения автоэлектронной эмиссии, и радиоактивности и объясняются мнимой пси-функцией
(не пинать, это грубо, на пальцах, научно-популярно)
Было и Гейзенберговское представление
https://ru.wikipedia.org/wiki/Представление_Гейзенберга оно эквивалентно, но используется реже и там тоже все решения в поле комплексных чисел.