Ответственность за собаку

Ваша собака была без поводка, она причинила вред, значит придется отвечать и выплачивать ущерб пострадавшей женщине.

Причинила ущерб ваша собака - вам и отвечать. Если хотите, можете подать иск на хозяина другой собаки, только его оставят без удовлетворения наверняка, т. к. проблема не возникла бы, будь ваша собака на поводке в общественном месте.
Так что платить вам и пострадавшей даме, и штраф за нарушение правил выгула.

Вашу собаку покусала другая? Подайте иск на возмещение ущерба. Хотя если обе собаки нарушали правила выгула, то скорее всего ничего вам не светит. А вот вред, причиненный вашей собакой, придется возместить однозначно.

Договориться с женщиной мирно, оплатить полностью лечение и моральную компенсацию, как договоритесь, эту часть, возможно, согласится разделить и владелец второй собаки, но по сути это ваша обязанность. Если захотите через суд это закончится полной оплатой лечения, судебных издержек, штрафа за нарушение правил выгула, моральной компенсации в зависимости от желаний пострадавшей и ушлости ее адвоката. Вы же понимаете, что тут и потеря работоспособности, и стресс, и восстановление. Ну, в виде утешения, второй хозяин тоже может заплатить штраф за нарушение правил выгула). Во много раз дешевле, чем вам выйдет судебные издержки.