Если пятна действительно на наружней поверхности зеркала, то рекомендую взять стальную вату, смочить ее средством для чистки стекла и аккуратно потереть. Только брать вату самую мелкую, чтобы не поцарапать стекло. Пользуюсь постоянно по работе.
Иногда, такую вату продают для чистки посуды, в магазинах или электричках.