Какими способами можно узнать серию и номер паспорта? Паспорт потеряла. Ответ нужен срочно.

никакими

или найти свой экз какого-н договора - с сотовой, с интернетом и всё такое

Писать заявление в по утери паспорта и выправлять новый. )

на госуслугах посмотреть, если зареганы там

Зачем вам узнавать? Пишите срочно заявление в полицию, чтобы его поставили в розыск и внесли в базу недействующих. Не подадите заявление, то будете обладателем многих займов, кредитов, обязательств каких-либо, учредителем, директором и т. д. даже если вам вернут паспорт, то в мусорку его и получайте новый.
Сведения можете на сайте Госуслуг узнать, т. к. вы по паспорту проходили регистрацию. В договорах на услуги интернета, кабельного телевидения, сотовой связи.

В отделе кадров по месту работы или учебы...

иди в Госуслуги там есть

Зачем Вам этот номер если этого паспорта у Вас уже нет?
Получайте новый и пишите его номер.