Можно ли уволиться из Почты России без двухнедельной отработки?

Модно. Если найдешь общий язык с отделом кадров и убедишь их всех вернуть тебе трудовую

На 2 недели на больничный, как все культурные люди.

А где Вы услышали про слово "отработка"?

нет такого понятия отработка. Есть ОБЯЗАННОСТЬ работника предупредить работодателя об увольнении за две недели.

Есть вариант по договорённости сторон. Но здесь, Внезапно, нужно согласие сторон