Почему Татарский пролив на Дальнем востоке так назван, если он находится за тысячи километров от Татарии?

Умом Россию не понять, сэр.
Вы же сами видите....
Вот зачем, например, коммунизм строили? Зачем классы людей истребляли?

Название придумано не русскими, а французами, а точнее - Лаперузом, в 1787 г.
Можно на старинных картах увидеть, где локализовалась "Татария" (или "Тартария") - это весьма обширная область.
http://www.goldbiblioteca.ru/img/kartitartbig/1.jpg
Лаперуз и назвал "Татарским" продив, ограничивающий с востока эту самую "Татарию".

Татарами же называли многие народы тюркского и монгольского происхождения, подвластные Чингисхану и его преемникам.

В Российской империи, например, татарами числились и азербаййджанцы, и алтайцы, и шорцы с хакасами.

Потому что первый европейский исследователь тех мест француз Ж. Ф. Лаперуза считал всех местных жителей (удэгейцы, нихви), татарами. Для него вся Сибирь была страной Тартарией, тогда и Россия для европейцев делилась на: 1) Московскую Тартарию, 2) Сибирскую Тартарию 3) Китайскую Тартарию. Все обитатели тех мест для Лаперузы были татарами

Татарией (а еще Тартарией) назывались все земли Сибири, Казахстана, Узбекистана.... вообще все тюркские народы.
. Волжская Татария называлась Булгарией (тюркский народ) . .Татарией она стала после прихода на эти земли татаро монгольских орд, когда часть булгар ушла на Балканы, дав название Болгарии, а их. место заняли пришедшие с Востока татары и вместе с оставшимися булгарами образовавшие новый народ .
Татарским пролив назвали французы, считавшие все сибирские народы татарами.