Какое влияние имеют органы опеки, что они могут сделать

Отобрать часть квартиры не могут. И даже всю квартиру не могут отобрать, если бы она владела всей квартирой. Опекун может только распоряжаться этой частью жилплощади в интересах опекаемой.

Вы зря отказались признать свою мать недееспособной.
Как я понимаю, пока не идет речи об оформлении над ней опеки. Социального работника могут просто назначить для ухода за вашей мамой.
Советую Вам, как можно скорее, самому подать в суд на признание мамы недееспособной, а потом самому оформить опеку над ней. И не медлить с этим.

Завещания и дарственные, подписанные недееспособным человеком, считаются недействительными. Но завещания и дарственные, подписанные человеком до признания его недееспособным, являются действительными. Когда человек ФАКТИЧЕСКИ недееспособный он может поддаться чужому влиянию и подписать любые бумаги. А если человек будет ЮРИДИЧЕСКИ недееспособным, то такой трюк уже не пройдет. Поэтому юридическое признание мамы недееспособной и оформление вами опеки над ней, это самый лучший способ защитить своё наследство.